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Benvenuto nella tana del bianporcino1... 1: Bianporcino parchè l'era sut la föia...
Nota che l''era', parchè ura 'l ghè pö... l'è stè catè e mangè.
» 18-06-2007 Divisibilitą e strane uguaglianze
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Visto il successo ottenuto a suo tempo, si propone ora una HOBOCTb di carattere matematico. Calma! Non scappare!
Quello che si leggerà, è una cosa simpatica che ti darà completa autonomia per scoprire, se lo vorrai, altre ulteriori curiosità matematiche. Ciò che presento, verrà capito dalle persone che hanno un'idea vaga di cosa sia numero, di cosa sia l'addizione, la moltiplicazione e la divisione. Direi quasi tutti, almeno spero.
Credo che tutti, almeno quelli che hanno fatto le elementari, abbiano sentito dire nella loro vita una frase del tipo: "un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3", oppure: "un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 9", oppure ancora: "un numero è divisibile per 11 se la somma delle sue cifre in posizione dispari meno la somma delle sue cifre in posizione pari è un numero divisibile per 11".
Credo che almeno la prima si sia sentita, la seconda si sia dimenticata (ma un tempo si sapeva) e la terza si sia completamente dimenticata.
Ma la domanda è: da dove saltano fuori queste "filastrocche"? Perchè è così?
Vediamo di scoprirlo.
Il tutto risale a Carlo Federico Gauss, (sì, proprio quello delle somme parziali), quando introdusse un concetto diverso di uguaglianza: il concetto di congruenza. Sul fatto che 3 sia uguale a 3 e 4 sia uguale 4 non ci dovrebbero essere dubbi, è un concetto che ci è stato insegnato sin da piccoli... Gauss invece introduce un altro concetto di uguaglianza molto utile per scopi teorici e pratici e dice che un numero x è uguale a un numero y modulo b se accade che (x-y)/b è un numero senza la virgola.
Con questa definizione di uguaglianza vediamo subito che 9 è uguale 3 modulo 3, perchè (9-3)/3 è un numero senza virgola, cioè 2; ma 9 è anche uguale 18 modulo 3, perchè (9-18)/3 è un numero senza virgola, cioè -3. Vediamo anche che 28 è uguale a 7 modulo 3 perchè (28-7)/3 è un numero senza virgola, cioè 7. Analogamente si vede subito che 12 non è uguale a 6 modulo 5.
Quindi, dire che x è uguale a 0 modulo b significa dire che x è divisibile per b.
Capito questo, finito. Abbiamo capito tutto, perchè?
Perchè ora prendiamo un numero senza virgola, per esempio 123456, e lo scomponiamo nella sua rappresentazione decimale, nell'esempio
123456=1*105 + 2*104 + 3*103 + 4*102 + 5*101 + 6,
e ora non facciamo altro che applicare ciò che abbiamo appena visto. Vogliamo capire se 123456 è divisible per 3? Bene, un numero sarà divisibile per 3 se è uguale a 0 modulo 3. Come facciamo a semplificare la lunga rappresentazione di 123456 scritta sopra? A cosa è uguale (modulo 3) il 10? Beh, è uguale a 1, quindi il numero lungo scritto sopra è uguale (modulo 3) a
1*15 + 2*14 + 3*13 + 4*12 + 5*11 + 6,
cioè
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21,
cosa abbiamo ottenuto? la somma delle cifre! Cioè abbiamo ottenuto che se 21 è divisibile per 3 allora lo è anche 123456! Ma a occhio si vede che 21 è divisible per 3.. quindi anche 123456.
Rifacciamo il giochetto per capire se 123456 è un numero divisibile per 11? Bene, questa volta abbiamo che 10 è uguale (modulo 11) a -1 e sostituendo nella lunga espressione di prima otteniamo
1*(-1)5 + 2*(-1)4 + 3*(-1)3 + 4*(-1)2 + 5*(-1)1 + 6,
cioè
- 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 = -3,
purtroppo 3 non è divisibile per 11 e quindi non lo è anche 123456.
Ora basta!! Non voglio togliere il divertimento a nessuno!! Hai tutti gli strumenti per prendere un numero, quello che vuoi tu, e trovare un modo semplice e tuo per capire se un numero è divisible per un numero dato. Certamente, se quel metodo è già stato scoperto pazienza, ma resterà il fatto che lo hai trovato con le tue forze!
Perchè non proviamo a trovare "i nostri metodi" e pubblicarli in modo da farli conoscere agli altri? Per esempio, cosa succede per i numeri divisibili per 7? e per 13? Così a occhio non lo so.. ma basta seguire la strada! Possono nascere metodi diversi.
Sono fiducioso :)
Ultimissima aggiunta da:
Jon
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