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Benvenuto nella tana del bianporcino1... 1: Bianporcino parchè l'era sut la föia...
Nota che l''era', parchè ura 'l ghè pö... l'è stè catè e mangè.
» 09-12-2006 Gauss alle elementari
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Si narra che alle elementari Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il più grande matematico del 19-esimo secolo e forse di tutti i tempi, si vide assegnare, dal maestro, il compito di sommare tutti i numeri naturali da 1 a 100. Beh, le somme le sappiamo fare tutti (almeno spero!) e potete immaginare anche che se ci mettiamo a sommare questi numeri uno per uno impiegheremmo un bel po' di tempo per arrivare alla soluzione... e con buona probabilità nel calcolo commetteremmo anche qualche un piccolo errore (dopo tutto, errare humanum est).
Si dice invece che Gauss vide la soluzione subito, "ad occhio" (non è incredibile?). Vediamo come sia possibile trovare la soluzione subito da un punto di vista "geometrico". Supponiamo, senza perdita di generalità, di sommare i primi 6 numeri (anzichè i primi 100 e poniamo N=6) e disponiamo i numeri nel modo indicato in Figura 1 (la prima riga rappresenta il numero 1, la seconda il 2 e così via). A questo punto incolliamo al "triangolo" trovato lo stesso trangolo ma ribaltandolo (Figura 2).
Figura 1 |
Figura 2 |
La soluzione del problema consiste ora nel trovare il numero di palline azzurre nella Figura 2, ma sapendo che l'area del rettangolo trovato è base per altezza e che il numero di palline azzurre, per costruzione, è la metà delle palline totali, si vede immediatamente che il numero di palline azzurre risulta (6*7)/2, cioè 21. Analogamente, se di righe ne avessimo avute 100, si sarebbe ottenuto (100*101)/2, cioè 5050.
La soluzione si può anche vedere numericamente osservando il fatto che è possibile accoppiare il numero 1 con 100, il 2 con 99, il 3 con 98 (e così via fino a 50), ottenendo come somme parziali sempre 101. Se i numeri sono 100, si hanno 50 di queste coppie, e quindi la soluione diventa 50*101=5050.
Da entrambe queste osservazioni si può generalizzare il risultato per la somma dei primi N numeri. Il risultato è dato dalla formula N*(N+1)/2.
Compito:
- supponiamo N dispari, quanto fa la somma dei numeri naturali dispari minori o uguali a N? (Suggerimento: prova a fare qualche tentativo a mano per N piccolo...)
- supponiamo N divisibile per 3, quanto fa la somma dei numeri naturali divisibili per tre minori o uguali a N? (Suggerimento: trova un modo alternativo per utilizzare la formula spiegata nella news...) E se N fosse divisibile per K?
Buon divertimento!
Ultimissima aggiunta da:
Jon
Commenti: 25
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